Une aire minimale

L'objectif de cette activité est d'étudier les variations d'une fonction polynôme de degré 2 afin de résoudre un problème d'optimisation.

Contexte et enjeu
Le panneau d'affichage d'un magasin est de forme carrée. Son côté mesure `2`  m de longueur. À l'intérieur du panneau, le propriétaire du magasin souhaite installer un deuxième carré lumineux dont les sommets se trouvent chacun sur l'un des côtés du panneau. Afin de minimiser les dépenses en électricité, le propriétaire souhaite que l'aire du carré lumineux soit la plus petite possible.

Où doit-il installer les sommets du carré lumineux pour minimiser son aire ? 

Partie A - Conjecture
Ce fichier de géométrique dynamique représente le panneau carré   (nommé \(\text{ABCD}\) ) ainsi que le carré lumineux intérieur (nommé  \(\text{EFGH}\) ).
1. Donner un protocole de construction permettant de réaliser cette figure à la règle et au compas.
2. Que permet de faire le curseur `t` ?
3. En déplaçant le point  \(\text{E}\) sur le côté  \(\text{[AB]}\) , conjecturer la position de  \(\text{E}\) sur \(\text{[AB]}\)   qui minimise l'aire du panneau lumineux.
4. Quelle semble être la valeur de l'aire minimale ?

1. Supposons \(\text{AE}=0,5\,\text{m}\) . Démontrer que l'aire de \(\text{EFGH}\) est égale à \(2,5\,\text{m}^2\) .

2. Soit `t` un réel de l'intervalle `[0;2]` tel que `\text{AE}=t` . Établir que l'aire de `\text{EFGH}` en fonction de `t` est donnée par `A(t)=2t^2-4t+4` .

3. Démontrer que l'on peut écrire `A(t)=2(t-1)^2+2` .On peut ainsi modéliser l'aire du carré lumineux par une fonction polynôme du second degré. L'expression déterminée à la question 3 s'appelle la forme canonique associée à la fonction `A` .

Partie C - Validation de la conjecture 
Dans cette partie, nous allons valider la conjecture émise dans la partie A et déterminer la valeur minimale de `A` sur l'intervalle `[0; 2]` .
1. Démontrer que, quel que soit `t` dans `[0;2]` , \(A(t) \geqslant 2\) .
2. Pour quelle valeur de `t` a-t-on `A(t)=2` ?
3. Quelle est alors la position du point `\text{E}` sur le côté `\text{[AB]}` qui minimise l'aire du carré lumineux ?

Partie D - Une démonstration
Imaginons ne pas avoir conjecturé la position de  `\text{E}` sur le côté `\text{[AB]}` qui minimise l'aire à la partie A. Nous allons déterminer le minimum de la fonction `A` à l'aide de la définition suivante.

Définition
Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I` de `\mathbb{R}` .  `f` est croissante (respectivement décroissante) sur  `I` si et seulement si quels que soient `x` et `y` de `I` tels que  `y>x` on a `f(y) > f(x)` (respectivement `f(y)).

1. Soit `x,y` deux réels de `[0;2]` et `y > x` , démontrer que `A(y)-A(x)=2(y+x-2)(y-x)` .
2. Expliquer pourquoi le signe de `A(y)-A(x)` est le signe de `(y+x-2)` .
3. Expliquer pourquoi `A` est croissante sur `[1;2]`  ; dresser le tableau de variations de `A` .
4. Donner le minimum de `A` sur `[0;2]` .
5. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.